מחשבון: מ־SR ל־LR ובחזרה

מקלידים באחוזים, למשל 12.5 או ‎−30. התוצאות — 6 ספרות אחרי הנקודה. השדה „בחזרה” מראה שההמרה הפוכה במדויק.

SR ו־LR הן שתי שפות לתיאור אותה תנועת מחיר (פרק 6). SR, התשואה הרגילה, היא שפת ההון: כמה הרווחתי או הפסדתי ביחס לנקודת ההתחלה. LR, התשואה הלוגריתמית, היא השפה שבה אפשר לחבר ולפרק תנועות לאורך זמן. ההמרה ביניהן מלאה, ולכן אף מידע לא הולך לאיבוד.

מה מותר לעשות עם כל אחת — לאורך זמן

• את LR מחברים ומחסרים. ה־LR של תקופות עוקבות מתחבר בדיוק ל־LR של התקופה כולה. זו האדיטיביות (פרק 7). מותר גם לחלק ולהכפיל: ממוצע חודשי, או ערך שנתי — $\tfrac{12}{n}$ כפול סכום ה־LR של n החודשים.
  $$\mathrm{LR}_{1\ldots n} = \sum_{t=1}^{n} \mathrm{LR}_t$$
• את SR מכפילים. כל תשואה מחושבת על בסיס הון חדש, ולכן SR מצטברת בכפל (פרק 4, „מלכודת האחוזים”). אסור לחבר SR של תקופות שונות, ואסור לחלק אותה במספר השנים.
  $$1 + \mathrm{SR}_{1\ldots n} = \prod_{t=1}^{n} \left(1 + \mathrm{SR}_t\right)$$

בין נכסים בתיק, באותה תקופה — זה הפוך. תשואת התיק היא ממוצע משוקלל של ה־SR של הנכסים, ולא של ה־LR שלהם. לכן הכלל „את LR מחברים” נכון לאורך זמן, ולא בין נכסים.

$p$ הוא התיק, ו־$w_i$ הוא המשקל של נכס $i$ בתיק.

דוגמה: ‎+50% ואז ‎−50%

• ב־SR, „חיבור” נותן 0%. אבל בפועל: 100 ← 150 ← 75. ההון ירד ב־25%.
• ב־LR החיבור עובד:$\ln(1.5) = 40.5465\%$ ו־$\ln(0.5) = -69.3147\%$. הסכום:
  $$40.5465\% -69.3147\% = -28.7682\%$$
  וזה בדיוק $\ln(0.75)$: ה־LR של כל הדרך.
• ובחזרה ל־SR:$e^{-0.287682} - 1 = -25\%$.
• הסימטריה: עלייה מ־100 ל־200 היא SR של 100%, והירידה בחזרה ל־100 היא SR של 50%. ב־LR שתיהן$69.3147\%$, עם סימן הפוך (פרקים 4 ו־7).

נסו במחשבון: 50 בשורה הראשונה, ואחר כך ‎−50.

להמשך קריאה

• פרק 4 — מלכודת האחוזים
• פרק 6 — שתי שפות לתיאור תשואה
• פרק 7 — סימטריה ואדיטיביות
• פרק 8 — מהמספר הסופי אל הדרך